Uma equipe de matemáticos deu um grande passo em direção a responder a uma pergunta de 160 milhões de dólares em matemática?
Talvez. A equipe resolveu várias outras questões menores em um campo chamado teoria dos números. E, ao fazê-lo, reabriram uma antiga avenida que poderia levar a uma resposta à antiga pergunta: a hipótese de Riemann está correta?
A hipótese de Reimann é uma conjectura matemática fundamental que tem implicações enormes para o resto da matemática. Ele forma a base para muitas outras idéias matemáticas - mas ninguém sabe se é verdade. Sua validade tornou-se uma das questões abertas mais famosas da matemática. É um dos sete "Problemas do Milênio" apresentados em 2000, com a promessa de que quem os resolver ganhará US $ 1 milhão. (Apenas um dos problemas já foi resolvido.)
De onde veio essa ideia?
Em 1859, um matemático alemão chamado Bernhard Riemann propôs uma resposta para uma equação matemática particularmente espinhosa. Sua hipótese é a seguinte: a parte real de todo zero não trivial da função zeta de Riemann é 1/2. Essa é uma afirmação matemática bastante abstrata, relacionada aos números que você pode colocar em uma função matemática específica para torná-la igual a zero. Mas isso é muito importante, principalmente no que diz respeito às perguntas sobre a frequência com que você encontrará números primos enquanto conta até o infinito.
Voltaremos aos detalhes da hipótese mais tarde. Mas o importante é saber agora que, se a hipótese de Riemann for verdadeira, ela responderá a muitas perguntas em matemática.
"Com freqüência na teoria dos números, o que acaba acontecendo é que, se você assumir a hipótese de Riemann, poderá provar todos os tipos de outros resultados", disse Lola Thompson, uma teórica dos números do Oberlin College, em Ohio, que não estava envolvida. nesta pesquisa mais recente, disse.
Frequentemente, ela disse à Live Science, os teóricos dos números primeiro provarão que algo é verdadeiro se a hipótese de Riemann for verdadeira. Então eles usarão essa prova como uma espécie de trampolim para uma prova mais complexa, o que mostra que sua conclusão original é verdadeira, independentemente de a hipótese de Riemann ser verdadeira.
O fato de esse truque funcionar, disse ela, convence muitos matemáticos de que a hipótese de Riemann deve ser verdadeira.
Mas a verdade é que ninguém sabe ao certo.
Um pequeno passo em direção a uma prova?
Então, como essa pequena equipe de matemáticos parecia nos aproximar de uma solução?
"O que fizemos em nosso artigo", disse Ken Ono, um teórico dos números da Universidade Emory e co-autor da nova prova, "revisamos um critério muito técnico que é equivalente à hipótese de Riemann ... e provamos uma grande provamos uma grande parte desse critério ".
Um "critério que é equivalente à hipótese de Riemann", neste caso, refere-se a uma afirmação separada que é matematicamente equivalente à hipótese de Riemann.
Não é óbvio à primeira vista por que as duas declarações estão tão conectadas. (O critério tem a ver com algo chamado "hiperbolicidade dos polinômios de Jensen".) Mas na década de 1920, um matemático húngaro chamado George Pólya provou que, se esse critério é verdadeiro, a hipótese de Riemann é verdadeira - e vice-versa. É uma antiga rota proposta para provar a hipótese, mas que foi amplamente abandonada.
Ono e seus colegas, em um artigo publicado em 21 de maio na revista Proceedings da Academia Natural de Ciências (PNAS), provaram que em muitos, muitos casos, o critério é verdadeiro.
Mas, em matemática, muitos não são suficientes para contar como prova. Ainda existem alguns casos em que eles não sabem se o critério é verdadeiro ou falso.
"É como jogar uma Powerball de um milhão", disse Ono. "E você conhece todos os números, exceto os últimos 20. Se um desses últimos 20 números estiver errado, você perde. ... Ainda assim, tudo pode desmoronar."
Os pesquisadores precisariam apresentar uma prova ainda mais avançada para mostrar que o critério é verdadeiro em todos os casos, comprovando a hipótese de Riemann. E não está claro a que distância essa prova está, disse Ono.
Então, qual é o tamanho deste negócio?
Em termos da hipótese de Riemann, é difícil dizer quão grande é esse negócio. Depende muito do que acontece a seguir.
"Esta é apenas uma das muitas formulações equivalentes da hipótese de Riemann", disse Thompson.
Em outras palavras, existem muitas outras idéias que, como esse critério, provariam que a hipótese de Riemann é verdadeira se elas mesmas fossem comprovadas.
"Portanto, é realmente difícil saber quanto progresso é esse, porque, por um lado, progredimos nessa direção. Mas há tantas formulações equivalentes que talvez essa direção não produza a hipótese de Riemann. Talvez uma das os outros teoremas equivalentes o farão, se alguém puder provar um desses ", disse Thompson.
Se a prova aparecer nessa trilha, isso provavelmente significará que Ono e seus colegas desenvolveram uma importante estrutura subjacente para resolver a hipótese de Riemann. Mas, se aparecer em outro lugar, esse documento será menos importante.
Ainda assim, os matemáticos estão impressionados.
"Embora isso ainda esteja longe de provar a hipótese de Riemann, é um grande passo adiante", escreveu Encrico Bombieri, um teórico dos números de Princeton que não estava envolvido na pesquisa da equipe, em um artigo da PNAS de 23 de maio. "Não há dúvida de que este artigo irá inspirar outros trabalhos fundamentais em outras áreas da teoria dos números, bem como na física matemática".
(Bombieri ganhou a Medalha Fields - o prêmio de maior prestígio em matemática - em 1974, em grande parte por trabalhos relacionados à hipótese de Riemann.)
O que a hipótese de Riemann significa, afinal?
Prometi que voltaríamos a isso. Aqui está a hipótese de Riemann novamente: A parte real de todo zero não trivial da função zie de Riemann é 1/2.
Vamos detalhar isso de acordo com Thompson e Ono.
Primeiro, qual é a função Riemann zeta?
Em matemática, uma função é uma relação entre diferentes quantidades matemáticas. Uma simples pode ser assim: y = 2x.
A função Riemann zeta segue os mesmos princípios básicos. Só que é muito mais complicado. Aqui está o que parece.
É uma soma de uma sequência infinita, na qual cada termo - os primeiros são 1/1 ^ s, 1/2 ^ se 1/3 ^ s - é adicionado aos termos anteriores. Essas elipses significam que a série na função continua assim, para sempre.
Agora podemos responder à segunda pergunta: O que é um zero da função Riemann zeta?
Isto é mais fácil. Um "zero" da função é qualquer número que você possa inserir para x que faz com que a função seja igual a zero.
Próxima pergunta: Qual é a "parte real" de um desses zeros e o que significa que ele é igual a 1/2?
A função zie de Riemann envolve o que os matemáticos chamam de "números complexos". Um número complexo é assim: a + b * i.
Nessa equação, "a" e "b" representam quaisquer números reais. Um número real pode ser de menos de 3 a zero, a 4.9234, pi ou 1 bilhão. Mas há outro tipo de número: números imaginários. Os números imaginários surgem quando você obtém a raiz quadrada de um número negativo, e eles são importantes, aparecendo em todos os tipos de contextos matemáticos.
O número imaginário mais simples é a raiz quadrada de -1, escrita como "i". Um número complexo é um número real ("a") mais outro número real ("b") vezes i. A "parte real" de um número complexo é aquela "a".
Alguns zeros da função zeta de Riemann, números inteiros negativos entre -10 e 0, não contam para a hipótese de Reimann. Estes são considerados zeros "triviais" porque são números reais, não números complexos. Todos os outros zeros são "não triviais" e números complexos.
A hipótese de Riemann afirma que, quando a função zeta de Riemann cruza zero (exceto os zeros entre -10 e 0), a parte real do número complexo deve ser igual a 1/2.
Essa pequena afirmação pode não parecer muito importante. Mas isso é. E podemos estar apenas um pouquinho mais perto de resolvê-lo.
